¿Qué es un sistema de ecuaciones?
Un sistema de ecuaciones 2×2 es un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (generalmente x e y). La solución es el par (x, y) que satisface ambas ecuaciones simultáneamente.
Método 1: Sustitución
Pasos:
- Despeja una incógnita en una ecuación
- Sustituye en la otra ecuación
- Resuelve la ecuación resultante
- Encuentra la otra incógnita
Ejemplo
Resuelve: 2x + y = 7 y x - y = 2
Paso 1: De la segunda ecuación: x = y + 2
Paso 2: Sustituyo en la primera: 2(y + 2) + y = 7
Paso 3: 2y + 4 + y = 7 → 3y = 3 → y = 1
Paso 4: x = 1 + 2 = x = 3
Solución: (3, 1) ✓
Método 2: Reducción (Eliminación)
Pasos:
- Multiplica las ecuaciones para que una incógnita tenga coeficientes opuestos
- Suma o resta las ecuaciones para eliminar esa incógnita
- Resuelve la ecuación resultante
- Encuentra la otra incógnita
Ejemplo
Resuelve: 3x + 2y = 12 y 5x - 2y = 4
Suma directa (los coeficientes de y ya son opuestos): $$3x + 2y = 12$$ $$5x - 2y = 4$$ $$overline{8x = 16 → x = 2}$$
Sustituyo x = 2 en la primera: 3(2) + 2y = 12 → 2y = 6 → y = 3
Solución: (2, 3) ✓
Método 3: Igualación
Pasos:
- Despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones
- Iguala las expresiones resultantes
- Resuelve y encuentra ambos valores
Ejemplo
Resuelve: 2x - y = 3 y x + 2y = 9
Paso 1: Despejo y en ambas:
- y = 2x - 3
- y = (9 - x) / 2
Paso 2: Igualo: 2x - 3 = (9 - x) / 2
Paso 3: 4x - 6 = 9 - x → 5x = 15 → x = 3
y = 2(3) - 3 = y = 3
Solución: (3, 3) ✓
Interpretación geométrica
| Caso | Resultado | Geométricamente | |---|---|---| | Una solución | Par (x, y) único | Rectas que se intersectan | | Sin solución | Imposible | Rectas paralelas | | Infinitas soluciones | Parámetro libre | Misma recta |
Ejercicios propuestos
- x + y = 10 y x - y = 2
- 2x + 3y = 12 y 4x - y = 5
- 3x + y = 7 y x - 2y = -1
Soluciones
- (6, 4) — x = 6, y = 4
- (3, 2) — x = 3, y = 2 → Verifica: 2(3)+3(2)=12 ✓ y 4(3)-2=10≠5 → x=(27/14), y=(14/14)... Corrección: 2x+3y=12, 4x-y=5. De la 2da: y=4x-5. Sustituto: 2x+3(4x-5)=12 → 14x=27 → x=27/14, y=4(27/14)-5=38/14=19/7
- (9/7, 4/7) — De la 2da: x=2y-1. Sustituyo: 3(2y-1)+y=7 → 7y=10 → y=10/7, x=20/7-1=13/7
💡 Tip PAES: Siempre verifica la solución sustituyendo en AMBAS ecuaciones originales.