Factorización: Métodos y Casos

¿Qué es factorizar?

Factorizar una expresión algebraica significa escribirla como un producto de factores más simples.

💡 Regla de oro: Siempre busca primero si hay factor común antes de aplicar otro método.

Método 1: Factor Común

Extrae el factor que se repite en todos los términos.

Ejemplo 1

$$6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)$$

Paso a paso:

• Factores de 6x²: 2·3·x·x
• Factores de 9x: 3·3·x
• Factor común: 3x
• Resultado: 3x(2x + 3) ✓

Ejemplo 2

$$4a^2b - 8ab^2 + 12ab = 4ab(a - 2b + 3)$$

Método 2: Diferencia de Cuadrados

$$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$$

Ejemplo 1

$$x^2 - 16 = (x+4)(x-4)$$

Porque x² = (x)² y 16 = (4)²

Ejemplo 2

$$9x^2 - 25 = (3x+5)(3x-5)$$

Ejemplo 3

$$4a^2 - 49b^2 = (2a+7b)(2a-7b)$$

Método 3: Trinomio Cuadrado Perfecto

$$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$$ $$a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$$

¿Cómo identificarlo? El primero y último término son cuadrados perfectos, y el del medio es el doble del producto de sus raíces.

Ejemplo 1

$$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$$

Verificación: √(x²) = x, √9 = 3, término medio = 2·x·3 = 6x ✓

Ejemplo 2

$$4x^2 - 20x + 25 = (2x-5)^2$$

Método 4: Trinomio de la forma x² + bx + c

Busca dos números p y q tal que:

• p + q = b
• p · q = c

Ejemplo 1

$$x^2 + 7x + 12$$

Busco dos números que sumen 7 y multipliquen 12:

• 3 + 4 = 7 ✓
• 3 × 4 = 12 ✓

$$x^2 + 7x + 12 = (x+3)(x+4)$$

Ejemplo 2

$$x^2 - 5x + 6 = (x-2)(x-3)$$

Verificación: (-2)+(-3) = -5 ✓ y (-2)·(-3) = 6 ✓

Método 5: Suma o Diferencia de Cubos

$$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$$ $$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2 + ab + b^2)$$

Ejemplo 1

$$x^3 + 8 = (x+2)(x^2 - 2x + 4)$$

Porque 8 = 2³

Ejemplo 2

$$27x^3 - 64 = (3x-4)(9x^2 + 12x + 16)$$

Ejercicios propuestos

1. Factoriza: 15x³ - 10x² + 5x
2. Factoriza: x² - 36
3. Factoriza: x² + 10x + 25
4. Factoriza: x² + 8x + 15
5. Factoriza: x² - x - 12
6. Factoriza: 8x³ + 27

Soluciones

1. 5x(3x² - 2x + 1)
2. (x+6)(x-6)
3. (x+5)²
4. (x+3)(x+5)
5. (x-4)(x+3)
6. (2x+3)(4x² - 6x + 9)

💡 Tip PAES: En la PAES, las preguntas de factorización suelen pedir "¿cuál de las siguientes es equivalente a...?" Siempre verifica tu factorización expandiéndola de vuelta.