Fracciones
Operaciones básicas
Suma y resta (necesitan denominador común): $$\frac{a}{b} \pm \frac{c}{d} = \frac{ad \pm bc}{bd}$$
Ejemplo: $\frac{2}{3} + \frac{1}{4} = \frac{8}{12} + \frac{3}{12} = \frac{11}{12}$
Multiplicación: $$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$$
Ejemplo: $\frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{6}{35}$
División: $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$$
Ejemplo: $\frac{4}{5} \div \frac{2}{3} = \frac{4}{5} \times \frac{3}{2} = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$
Porcentajes
Convertir porcentaje a fracción/decimal: $$30% = \frac{30}{100} = 0{,}3$$
Calcular porcentaje de una cantidad: $$x% \text{ de } N = \frac{x}{100} \times N$$
Ejemplo: ¿Cuánto es el 15% de 80? $$\frac{15}{100} \times 80 = 12$$
Aumentos y descuentos
Aumento de x%: Nuevo valor = N × (1 + x/100)
Ejemplo: Un producto de $10.000 sube 20%: $$10.000 \times 1{,}2 = $12.000$$
Descuento de x%: Nuevo valor = N × (1 - x/100)
Ejemplo: Un producto de $20.000 con 15% de descuento: $$20.000 \times 0{,}85 = $17.000$$
Variación porcentual
$$%\text{variación} = \frac{\text{valor final} - \text{valor inicial}}{\text{valor inicial}} \times 100$$
Proporcionalidad
Razón y proporción
$$\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \Rightarrow a \cdot d = b \cdot c$$
Regla de tres directa
Si más de una cosa implica más de la otra.
Ejemplo: Si 3 kg cuestan $4.500, ¿cuánto cuestan 5 kg? $$\frac{3}{4.500} = \frac{5}{x} \Rightarrow x = \frac{5 \times 4.500}{3} = $7.500$$
Regla de tres inversa
Si más de una cosa implica menos de la otra.
Ejemplo: 4 obreros terminan un trabajo en 12 días. ¿En cuántos días lo hacen 6 obreros? $$4 \times 12 = 6 \times x \Rightarrow x = \frac{48}{6} = 8 \text{ días}$$
Potencias y Raíces
Propiedades de potencias
$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$$ $$\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$$ $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$ $$a^0 = 1 \text{ (si a ≠ 0)}$$ $$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$$
Raíz cuadrada
$$\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$$ $$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$$
Ejercicios propuestos
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Calcula: $\frac{3}{4} + \frac{5}{6} - \frac{1}{3}$
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En un curso de 40 alumnos, el 35% son mujeres. ¿Cuántas mujeres hay?
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Un auto cuesta $8.000.000. Baja un 12%. ¿Cuál es el nuevo precio?
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Si 2,5 kg de manzanas cuestan $1.750, ¿cuánto cuestan 4 kg?
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Simplifica: $(3^2)^3 \div 3^4$
Soluciones
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$\frac{9}{12} + \frac{10}{12} - \frac{4}{12} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$
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$0{,}35 \times 40 = \mathbf{14}$ mujeres
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$8.000.000 \times 0{,}88 = \mathbf{$7.040.000}$
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$\frac{1.750}{2{,}5} \times 4 = $700 \times 4 = \mathbf{$2.800}$
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$(3^2)^3 = 3^6$; $3^6 \div 3^4 = 3^2 = \mathbf{9}$
💡 Tip PAES: Los problemas de porcentaje son muy frecuentes en la PAES. Practica mentalmente: para calcular el 10%, divide entre 10. Para el 5%, divide entre 20. Para el 25%, divide entre 4.