Geometría: Áreas, Perímetros y Teorema de Pitágoras

Figuras Planas: Perímetro y Área

Cuadrado

• Perímetro: P = 4·l
• Área: A = l²

Rectángulo

• Perímetro: P = 2(a + b)
• Área: A = a·b

Triángulo

• Perímetro: P = a + b + c
• Área: A = (b·h) / 2

donde h es la altura perpendicular a la base b.

Círculo

• Circunferencia: C = 2πr
• Área: A = πr²

Trapecio

• Área: A = (B + b)·h / 2

donde B = base mayor, b = base menor, h = altura.

Rombo

• Área: A = (d₁ · d₂) / 2

donde d₁ y d₂ son las diagonales.

Teorema de Pitágoras

En un triángulo rectángulo:

$$a^2 + b^2 = c^2$$

donde c es la hipotenusa (lado opuesto al ángulo recto) y a, b son los catetos.

Ternas pitagóricas más comunes

| Catetos | Hipotenusa | |---|---| | 3, 4 | 5 | | 5, 12 | 13 | | 8, 15 | 17 | | 6, 8 | 10 |

Ejemplo 1

Un triángulo tiene catetos de 6 cm y 8 cm. ¿Cuánto mide la hipotenusa? $$c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ cm}$$

Ejemplo 2

Una escalera de 13 m apoya contra una pared. La base está a 5 m de la pared. ¿A qué altura llega? $$a = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 \text{ m}$$

Semejanza de Triángulos

Dos triángulos son semejantes si sus ángulos son iguales. Sus lados son proporcionales:

$$\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} = k \text{ (razón de semejanza)}$$

Si la razón de semejanza es k:

• Perímetros: se multiplican por k
• Áreas: se multiplican por k²

Cuerpos Geométricos

Prisma rectangular (caja)

• Volumen: V = largo × ancho × alto
• Superficie: S = 2(la + ah + lh)

Cilindro

• Volumen: V = πr²h
• Superficie lateral: S = 2πrh

Cono

• Volumen: V = (1/3)πr²h

Esfera

• Volumen: V = (4/3)πr³
• Superficie: S = 4πr²

Ejercicios propuestos

1. Un jardín rectangular mide 12 m × 8 m. ¿Cuánto cuesta cercarlo si cada metro de cerca vale $2.500?

2. Calcula el área de un triángulo con base 10 cm y altura 7 cm.

3. ¿Cuánto mide el lado faltante de un triángulo rectángulo con hipotenusa 17 cm y un cateto de 8 cm?

4. Una piscina circular tiene radio 5 m. ¿Cuántos m² de piso tiene?

5. Dos triángulos son semejantes con razón 3:1. Si el área del triángulo pequeño es 20 cm², ¿cuánto mide el área del grande?

Soluciones

1. Perímetro = 2(12+8) = 40 m → Costo = 40 × $2.500 = $100.000
2. A = (10 × 7)/2 = 35 cm²
3. b = √(17² - 8²) = √(289-64) = √225 = 15 cm
4. A = π × 5² = 25π ≈ 78,5 m²
5. Razón de áreas = 3² = 9 → Área grande = 20 × 9 = 180 cm²

💡 Tip PAES: Siempre dibuja la figura cuando resuelvas problemas de geometría. Un dibujo claro evita errores en la identificación de lados y ángulos.