Medidas de Tendencia Central
Las medidas de tendencia central nos ayudan a describir un conjunto de datos con un solo valor representativo.
Media Aritmética (Promedio)
$$\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + ... + x_n}{n} = \frac{\sum x_i}{n}$$
Ejemplo
Notas de un alumno: 5, 7, 6, 4, 8
$$\bar{x} = \frac{5+7+6+4+8}{5} = \frac{30}{5} = 6$$
La media es 6.
⚠️ Cuidado: La media es sensible a valores extremos (outliers). Un valor muy alto o bajo puede distorsionarla.
Mediana
El valor central cuando los datos están ordenados.
- Si n es impar: mediana = valor central
- Si n es par: mediana = promedio de los dos valores centrales
Ejemplo 1 (n impar)
Datos ordenados: 3, 5, 7, 9, 11 → Mediana = 7
Ejemplo 2 (n par)
Datos ordenados: 2, 4, 6, 8, 10, 12 → Mediana = (6+8)/2 = 7
Moda
El valor que aparece más veces.
| Tipo | Descripción | |---|---| | Unimodal | Un solo valor más frecuente | | Bimodal | Dos valores con la misma frecuencia máxima | | Sin moda | Todos los valores aparecen igual número de veces |
Ejemplo
Datos: 3, 5, 3, 7, 5, 3, 8 → Moda = 3 (aparece 3 veces)
Rango
$$\text{Rango} = \text{Valor máximo} - \text{Valor mínimo}$$
Mide la dispersión de los datos (qué tan separados están).
Ejemplo
Datos: 4, 7, 2, 9, 1, 6 → Rango = 9 - 1 = 8
Tablas de frecuencia
| Puntaje | Frecuencia | Frecuencia acumulada | |---|---|---| | 40-49 | 3 | 3 | | 50-59 | 7 | 10 | | 60-69 | 12 | 22 | | 70-79 | 8 | 30 |
Marca de clase: punto medio del intervalo. Ej: 40-49 → marca = 44,5
Gráficos estadísticos
Histograma
Barras adyacentes para datos agrupados en intervalos.
Diagrama de barras
Barras separadas para datos cualitativos o discretos.
Diagrama circular (torta)
Muestra proporciones. El ángulo de cada sector = (frecuencia / total) × 360°
Ejercicios propuestos
Ejercicio 1: Las edades de 9 estudiantes son: 15, 16, 15, 17, 14, 16, 15, 18, 16 Calcula: a) Media b) Mediana c) Moda d) Rango
Ejercicio 2: En una prueba, 5 alumnos obtuvieron: 45, 72, 68, 91, 54 Si se suma un 6° alumno con nota 80, ¿en cuánto aumenta la media?
Ejercicio 3: Una tabla muestra que 10 personas tienen entre 20-30 años, 15 entre 30-40 y 5 entre 40-50. ¿Cuál es la media de edades usando marcas de clase?
Soluciones
Ejercicio 1: Datos ordenados: 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 18
- a) Media = (14+15+15+15+16+16+16+17+18)/9 = 142/9 ≈ 15,8
- b) Mediana = valor central (posición 5) = 16
- c) Moda = 15 y 16 (ambas aparecen 3 veces → bimodal)
- d) Rango = 18 - 14 = 4
Ejercicio 2: Media original = (45+72+68+91+54)/5 = 330/5 = 66 Nueva media = (330+80)/6 = 410/6 ≈ 68,3 Aumento = 68,3 - 66 = ≈ 2,3 puntos
Ejercicio 3: Marcas: 25, 35, 45 Media = (10×25 + 15×35 + 5×45) / 30 = (250+525+225)/30 = 1000/30 ≈ 33,3 años
💡 Tip PAES: Las preguntas de estadística frecuentemente muestran una tabla o gráfico y piden calcular o interpretar medidas. Practica leyendo tablas de frecuencia.