¿Qué es una función?
Una función es una relación entre dos variables donde a cada valor de x le corresponde exactamente un valor de y.
Notación: f(x) = ... (se lee "f de x")
Función Lineal: f(x) = mx + b
| Elemento | Significado | |---|---| | m | Pendiente (inclinación de la recta) | | b | Intercepto con el eje y (cuando x = 0) |
Interpretar la pendiente m
- m > 0: La función es creciente (sube de izquierda a derecha)
- m < 0: La función es decreciente (baja de izquierda a derecha)
- m = 0: Función constante (línea horizontal)
- |m| grande: Recta más empinada
Ejemplo 1: f(x) = 2x + 3
- Pendiente: m = 2 (creciente)
- Intercepto y: b = 3 → punto (0, 3)
- Cuando x = 1: f(1) = 2(1) + 3 = 5 → punto (1, 5)
- Cuando x = -1: f(-1) = 2(-1) + 3 = 1 → punto (-1, 1)
¿Cómo encontrar la ecuación de una recta?
Dados dos puntos (x₁, y₁) y (x₂, y₂): $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$
Ejemplo: Recta que pasa por (1, 3) y (3, 7): $$m = \frac{7-3}{3-1} = \frac{4}{2} = 2$$ y = 2x + b → 3 = 2(1) + b → b = 1 Ecuación: y = 2x + 1
Función Cuadrática: f(x) = ax² + bx + c
La gráfica es una parábola.
| Condición | Efecto | |---|---| | a > 0 | Parábola abre hacia arriba (forma U) | | a < 0 | Parábola abre hacia abajo (forma ∩) | | |a| grande | Parábola más angosta | | |a| pequeño | Parábola más ancha |
Vértice de la parábola
El punto más alto o más bajo de la parábola: $$x_v = -\frac{b}{2a} \quad , \quad y_v = f(x_v)$$
Ejemplo: f(x) = x² - 4x + 3
Vértice: $$x_v = -\frac{-4}{2(1)} = 2 \quad , \quad y_v = (2)^2 - 4(2) + 3 = -1$$ Vértice: (2, -1)
Raíces (donde f(x) = 0): x² - 4x + 3 = 0 → (x-1)(x-3) = 0 → x = 1 y x = 3
Intersección eje y: f(0) = 3 → punto (0, 3)
Dominio y Recorrido
- Dominio: Conjunto de valores que puede tomar x
- Recorrido (imagen): Conjunto de valores que puede tomar y
Para una función lineal: dominio = recorrido = todos los reales ℝ
Para f(x) = x² - 4x + 3 (parábola con a > 0):
- Dominio: ℝ (todos los reales)
- Recorrido: [-1, +∞) (desde el vértice hacia arriba)
Ejercicios propuestos
- Dada f(x) = 3x - 2, calcula f(0), f(1) y f(-2)
- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por (0, 4) y (2, 0)
- Para g(x) = x² - 6x + 8, encuentra el vértice y las raíces
- ¿Para qué valores de x se cumple f(x) = g(x) si f(x) = 2x y g(x) = x² - 3?
Soluciones
- f(0) = -2 ; f(1) = 1 ; f(-2) = -8
- m = (0-4)/(2-0) = -2 ; b = 4 → y = -2x + 4
- xᵥ = 3, yᵥ = 9-18+8 = -1 → Vértice (3,-1) ; Raíces: (x-2)(x-4)=0 → x=2 y x=4
- 2x = x²-3 → x²-2x-3=0 → (x-3)(x+1)=0 → x=3 y x=-1
💡 Tip PAES: Las preguntas sobre funciones frecuentemente muestran un gráfico y preguntan por el vértice, intersecciones o para qué x se cumple una condición. ¡Domina la lectura de gráficos!