Razones Trigonométricas en el Triángulo Rectángulo
En un triángulo rectángulo con ángulo agudo θ:
$$\sin(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{hipotenusa}} = \frac{CO}{H}$$
$$\cos(\theta) = \frac{\text{cateto adyacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{CA}{H}$$
$$\tan(\theta) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto adyacente}} = \frac{CO}{CA} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$$
Mnemotecnia (en inglés): SOH-CAH-TOA
Valores Notables
| θ | sin θ | cos θ | tan θ | |---|---|---|---| | 0° | 0 | 1 | 0 | | 30° | 1/2 | √3/2 | 1/√3 = √3/3 | | 45° | √2/2 | √2/2 | 1 | | 60° | √3/2 | 1/2 | √3 | | 90° | 1 | 0 | indefinido |
💡 Truco: Para seno, los valores van 0, 1/2, √2/2, √3/2, 1 (de 0° a 90°). Para coseno, van al revés.
Identidad Fundamental
$$\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1$$
Esta identidad permite expresar una razón en términos de la otra.
Ejemplo: Si sin θ = 3/5, ¿cuánto vale cos θ? $$(3/5)^2 + \cos^2\theta = 1$$ $$\cos^2\theta = 1 - 9/25 = 16/25$$ $$\cos\theta = 4/5$$
Aplicaciones
Ejemplo 1: Altura de un edificio
Desde un punto a 50 m del edificio, el ángulo de elevación a su techo es 35°. ¿Cuánto mide el edificio?
$$\tan(35°) = \frac{h}{50}$$ $$h = 50 \times \tan(35°) \approx 50 \times 0{,}700 \approx 35 \text{ m}$$
Ejemplo 2: Distancia en triángulo
En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 10 cm y un ángulo es 30°. ¿Cuánto mide el cateto opuesto?
$$\sin(30°) = \frac{CO}{10}$$ $$CO = 10 \times \frac{1}{2} = 5 \text{ cm}$$
Ley de los Senos (triángulos no rectángulos)
$$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$$
Útil cuando conoces un lado, su ángulo opuesto, y otro ángulo.
Ejercicios propuestos
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En un triángulo rectángulo, cateto opuesto = 6 y cateto adyacente = 8 al ángulo θ. Calcula sin θ, cos θ y tan θ.
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Si cos α = 5/13, calcula sin α y tan α (α es agudo).
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Un cable de 20 m sujeta un poste formando un ángulo de 60° con el suelo. ¿A qué altura llega al poste?
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Calcula el valor exacto de: sin 45° × cos 60° + cos 45° × sin 30°
Soluciones
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Hipotenusa = √(6²+8²) = 10 → sin θ = 6/10 = 3/5 ; cos θ = 8/10 = 4/5 ; tan θ = 6/8 = 3/4
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sin α = √(1 - 25/169) = √(144/169) = 12/13 ; tan α = (12/13)/(5/13) = 12/5
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h = 20 × sin 60° = 20 × (√3/2) = 10√3 ≈ 17,3 m
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(√2/2)(1/2) + (√2/2)(1/2) = √2/4 + √2/4 = √2/2
💡 Tip PAES: Memoriza los valores para 30°, 45° y 60°. Son los que más aparecen. Dibuja siempre el triángulo para no confundir cateto opuesto y adyacente.